详解 Java 语言中 float 类型的运算

【注】本文参考了网上的部分资料加上本人水平有限，存在错误在所难免，希望大家多指正

Java 浮点数运算中，我们常常遇到类似的问题：
1.0f - 0.9f = 0.100000024
这么简单的运算，Java 居然会犯错，为什么？
其实主要的原因就是计算机对于浮点数的存储方式，就类似于我们现实生活中 10 ÷ 3 的问题一样。
2.0f - 0.9f = 1.1
为什么这个又是正确的？

1、首先我们先看一下计算机如何存储浮点数
先看一下小数部分，它的算法是乘以2，直到没有了小数为止。举个例子，0.9表示成二进制数
        0.9*2=1.8   取整数部分  1
        0.8（1.8的小数部分）*2=1.6    取整数部分  1
        0.6*2=1.2   取整数部分  1
        0.2*2=0.4   取整数部分  0
        0.4*2=0.8   取整数部分  0
        0.8*2=1.6   取整数部分  1
        0.6*2=1.2   取整数部分  1
                 .........      0.9二进制表示为（从上往下）: 1100111001100......
注意：上面的计算过程循环了，也就是说*2永远不可能消灭小数部分，这样算法将无限下去。
很显然，小数的二进制表示有时是不可能精确的 。

Java 的 float 类型在内存中占 4 个字节。float 的32个二进制位结构如下：
字节：        31                             30                  29----23            22----0        

表示：实数符号位      指数符号位        指数位          有效数位
实数符号位：1表示正，0表示负。

将一个float型转化为内存存储格式的步骤为：
（1）先将这个实数的绝对值化为二进制格式。
（2）将这个二进制格式实数的小数点左移或右移n位，直到小数点移动到第一个有效数字的右边。
（3）从小数点右边第一位开始数出二十三位数字放入第22到第0位。
（4）如果实数是正的，则在第31位放入“0”，否则放入“1”。
（5）如果n 是左移得到的，说明指数是正的，第30位放入“1”。如果n是右移得到的或n=0，则第30位放入“0”。
（6）如果n是左移得到的，则将n减去1后化为二进制，并在左边加“0”补足七位，放入第29到第23位。
     如果n是右移得到的或n=0，则将n化为二进制后在左边加“0”补足七位，再各位求反，再放入第29到第23位。
注：关于“指数符号位”和“指数位”共八位，可以看作一个整体，浮点数的指数为： 八位的十进制数减去 127

举例说明： 1f 的内存存储格式
（1） 将 1f 化为二进制后是" 1. 00000000000000000000000"，其实就是整型的二进制表示。
（2） 小数点不需要移动，即 n=0， 保证有效位数24位，右侧多余的截取（误差在这里产生了）。
（3） 这已经有了二十四位有效数字，将最左边一位“1”去掉，得到“ 00000000000000000000000 ”共23bit。将它放入 float 存储结构的第22到第0位。
（4） 因为 1f 是正数，因此在第31位实数符号位放入“0”。
（5） 由于 n=0，因此在第30位指数符号位放入“0”。
（6） 因为我们是把未移动小数点，因此将0减去1得-1，化为二进制，并补足7位得到1111111，放入第29到第23位。
最后表示 1f 为：  0 0 1111111 00000000000000000000000

将一个内存存储的float二进制格式转化为十进制的步骤：
（1）将第22位到第0位的二进制数写出来，在最左边补一位“1”，得到二十四位有效数字。将小数点点在最左边那个“1”的右边。
（2）取出第29到第23位所表示的值n。当30位是“0”时将n各位求反。当30位是“1”时将n增1。
（3）将小数点左移n位（当30位是“0”时）或右移n位（当30位是“1”时），得到一个二进制表示的实数。
（4）将这个二进制实数化为十进制，并根据第31位是“0”还是“1”加上正号或负号即可。

2、浮点型的减法运算在计算机中的实际操作
浮点加减运算过程比定点运算过程复杂。完成浮点加减运算的操作过程大体分为四步： 
（1） 0操作数的检查；
如果判断两个需要加减的浮点数有一个为0，即可得知运算结果而没有必要再进行有序的一些列操作。
（2） 比较阶码（指数位）大小并完成对阶；
两浮点数进行加减，首先要看两数的 指数位是否相同，即小数点位置是否对齐。
若两数指数位相同，表示小数点是对齐的，就可以进行尾数的加减运算。
反之，若两数阶码不同，表示小数点位置没有对齐，此时必须使两数的阶码相同，这个过程叫做对阶 。
如何对阶（假设两浮点数的指数位为 Ex 和 Ey ）：
通过尾数的移位以改变 Ex 或 Ey ，使之相等。 由于浮点表示的数多是规格化的，尾数左移会引起最高有位的丢失，造成很大误差；
而尾数右移虽引起最低有效位的丢失，但造成的误差较小，因此，对阶操作规定使尾数右移，尾数右移后使阶码作相应增加，其数值保持不变。
很显然，一个增加后的阶码与另一个相等，所增加的阶码一定是小阶。
因此在对阶时，总是使小阶向大阶看齐 ，即小阶的尾数向右移位 （ 相当于小数点左移 ） ，每右移一位，其阶码加 1 ，直到两数的阶码相等为止，右移的位数等于阶差 △ E 。
（3） 尾数（有效数位）进行加或减运算；
对阶完毕后就可有效数位求和。 不论是加法运算还是减法运算，都按加法进行操作，其方法与定点加减运算完全一样。
（4） 结果规格化并进行舍入处理。

3、开始计算

计算 1.0f - 0.9f

1.0f 的内存存储格式为：    0 0 1111111 00000000000000000000000 1.0000*2^0
0.9f 的内存存储格式为：    0 0 1111110 11001100110011001100110 1.1100*2^-1

可见两数的指数位不相同，首先要进行对阶操作，再对有效数位进行减法即可。

1.0f 的内存存储格式为：    0 0 1111111 00000000000000000000000 1.000000000000000000000000*2^0
0.9f 的内存存储格式为：    0 0 1111111 11100110011001100110011 0.111001100110011001100110*2^0

1.0f 的内存存储格式为：    0 0 1111111 00000000000000000000000
0.9f 的补码：                             0 0 1111111 00011001100110011001101
1.0f-0.9f   结果：                                                00011001100110011001101
1.0f-0.9f   存储：                        0 0 1111011 10011001100110011010000
十六进制：0x3DCCCCD0

可以通过 Float.intBitsToFloat() 方法转换为十进制浮点数

将结果还原为十进制为： 0.100000024


计算 2.0f - 0.9f

2.0f 的内存存储格式为：    0 1 0000000 00000000000000000000000 1.00000000000000000000000*2^1
0.9f 的内存存储格式为：    0 0 1111110 11001100110011001100110 1.11001100110011001100110*2^-1

可见两数的指数位不相同，首先要进行对阶操作，再对有效数位进行减法即可。

2.0f 的内存存储格式为：    0 1 0000000 0000000000000000000000000 1.00000000000000000000000*2^1
0.9f 的内存存储格式为：    0 1 0000000 0111001100110011001100110 0.01110011001100110011001*2^1
                                                                                 1000110011001100110011010
2.0f 的内存存储格式为：    0 1 0000000 0000000000000000000000000
0.9f 的补码：                             0 1 0000000 1000110011001100110011010
2.0f-0.9f   结果：                                                1000110011001100110011010
2.0f-0.9f   存储：                        0 0 1111111 00011001100110011001101
十六进制：0x3F8CCCCD

将结果还原为十进制为：1.1

Java 提供 API 显示浮点数的二进制显示：System.out.println("i =" + Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(i)));
注意，需要先把二进制转化为十六进制，再调用 Float.floatToIntBits() 方法。

评论

1 楼 路小尘 2014-01-09  

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